Diferensial Eksak dan Tak Eksak

Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah suatu persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk :

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Misalnya

Selesaikan

xy’ + y + 4 = 0.

Penyelesaian.

Persamaan di atas ditulis dalam bentuk (7), yaitu

(y+4)dx + xdy = 0.

Kita lihat bahwa

M = y+4, dan

N = x.

Jadi (11) dipenuhi, sehingga persamaannya adalah eksak.

Dari (12*) diperoleh

Untuk menentukan l(x), rumus di atas diturunkan terhadap x dan gunakan rumus

(10a) untuk mendapatkan

Jadi

dl/dx = 4, atau

l = 4x+c*.

Jadi selesaian umum Persamaan Diferensial berbentuk

u = xy+l(x)

  = xy+4x+c*

   = konstan.

Pembagian dengan x menghasilkan

y = c/x+4.

Catatan: Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan di atas bisa ditulis menjadi

ydx + xdy = -4dx.

Ruas kiri adalah diferensial total dari xy, yaitu d(xy), sehingga jika diintegralkan akan

diperoleh xy = -4x+c, yang sama dengan penyelesaian dengan menggunakan metode sistematis.

Diferensial Tak Eksak

Suatu persamaan yang memenuhi M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 tetapi M(x,y)  ≠ N(x,y).

Misalnya

Selesaikan Persamaan Diferensial Eksak:

2xsin3ydx + (3x²cos3y+2y)dy = 0.

Penyelesaian.

Dengan (11) terbukti bahwa PDnya eksak.

Dari (12) diperoleh

Jika diturunkan terhadap y diperoleh

Jadi

Selesaian umumnya adalah u = konstan atau

Perhatikan!

Metode kita memberikan selesaian dalam bentuk implisit

u(x,y) = c = konstan,

bukan dalam bentuk eksplisit y = f(x).

Untuk mengeceknya, kita turunkan u(x,y) = c secara implisit. Dan dilihat apakah

akan menghasilkan

dy/dx = -M/N atau

Mdx + Ndy = 0,

seperti persamaan semula atau tidak.

Read More